Свойства и классификация преобразований

В электронных системах одинаково широко используется обработка информации, представленной в аналоговой и цифровой формах. Объясняется это тем, что первичная, исходная информация о различных физических величинах и процессах носит, как правило, аналоговый характер. Обработку же этой информации удобнее вести в цифровой форме. Использование полученных после цифровой обработки результатов также в большинстве случаев требует их аналогового представления. Следовательно, любая система, использующая цифровые методы обработки информации, должна содержать уст­ройства взаимного преобразования аналоговых и цифровых сигна­лов. Роль таких устройств выполняют аналого-цифровые и цифро-аналоговые преобразователи (АЦП и ЦАП).

Аналого-цифровой преобразователь - устройство, предназна­ченное для преобразования непрерывно изменяющейся во времени аналоговой физической величины в эквивалентные ей значения числовых кодов.

Цифро-аналоговый преобразователь - устройство, предназназченное для преобразования входной величины, представленной по­следовательностью числовых кодов, в эквивалентные им значения заданной физической величины.

В качестве аналоговой физической величины, оговоренной в данных определениях, в общем случае могут фигурировать раз­личные параметры, например угол поворота, линейное перемеще­ние, давление жидкости или газа и т. д. В дальнейшем под этой величиной будем понимать напряжение либо ток, которые, при необходимости, можно легко преобразовать в другие физические величины.

Основным вопросом, с которым приходится сталкиваться при проектировании и использовании ЦАП и АЦП, является вопрос адекватности полученного в результате преобразования сигнала исходному физическому процессу, т. е. вопрос точности преобра­зования. Поэтому рассмотрим алгоритмы этих преобразований с точки зрения погрешностей, возникающих при их выполнении. Процесс аналого-цифрового преобразования предполагает по­следовательное выполнение следующих операций:

1. выборка значений исходной аналоговой величины в некоторые наперед заданные дискретные моменты времени, т. е. дискретиза­ция сигнала по времени;

2. квантование (округление до некоторых известных величин) полученной в дискретные моменты времени последовательности значений исходной аналоговой величины по уровню;

3. кодирование - замена найденных квантованных значений не­которыми числовыми кодами.

Проиллюстрируем эту последовательность действий с помощью рис...

Пусть задана некоторая аналоговая зависимость u(t). Для получения ее дискретного эквивалента U(nT_д)={U(0),U(Tд),U(2Tд),…} необходимо провести выборку ее значений в дискрет­ные моменты времени nTд, где n=0,1,2... целое число. Постоян­ная величина Tд - носит название периода выборки или периода дискретизации, а сам процесс замены исходной аналоговой функ­ции u(t) некоторой дискретной функцией U(nT_д) называется дискретизацией сигнала во времени. Следует отметить, что полученная дискретная функция U(nT_д) относительно самого сигнала u(t)  носит по-прежнему аналоговый характер, так как может принимать бесконечное число различных значений.

Операция квантования по уровню дискретной функции U(nT_д) заключается в отображении бесконечного множества ее значений на некоторое конечное множество значений U*_n, называемых уровнями квантования. Для выполнения этой операции весь динамический диапазон D= U(nT_д)_max - U(nT_д)_min изменения дискретной функции U(nT_д) разбивают на некоторое заданное число уровней N и производят округление каждой величины U(nT_д) до ближайшего уровня U*_n. Величина h=D/N  носит название шага квантования. Результатом операции квантования по уровню является дискретная функция U*_n, которая может принимать N+1 значение.

Для выполнения последней операции необходимо выбрать некоторый код К={К₁, К₂...}, способный отображать не менее (N+1)-го значения, и каждому дискретному значению U*_n поставить в соответствие некоторый код К_i В простейшем случае в качестве кода может быть использована последовательность чисел,  соответствующих порядковым номерам уровней квантования. При таком выборе кода представленная на рис... функция u(t) может быть заменена последовательностью десятичных чисел: K_n={0, 1, 3, 4, 4, 5, 4, 4, 3, 2, 2), или в двоичной форме K_n ={000, 001, 011, 100, 100, 101, 100, 100, 011, 010, 010}.

В аналитической форме процесс аналого-цифрового преобразования может быть представлен выражением:

где результат в квадратных скобках округлен до ближайшего целого числа, - погрешность преобразования на i-м шаге.

Как следует из описанного алгоритма, переходы от исходной функции u(t) к дискретной U(nT_д) и далее к квантованной по уровню U*_n сопряжены с некоторой потерей информации. На этапе же кодирования подобные потери отсутствуют. Рассмотрим вопрос потери информации более подробно.

Предположим, что исходная аналоговая функция u(t) может быть представлена в виде конечной суммы гармонических сигна­лов, т. е. ее частотный спектр ограничен:

Тогда согласно известной из теории информации теореме Котельникова, если период дискретизации T_д отвечает условию

где f_max - частота максимальной гармоники исходного сигна­ла u(t), дискретные значения U(nT_д) полностью определяют ис­ходную зависимость u(t), и замена аналоговой функции u(t) на дискретную U(nT_д) не сопряжена с искажением вида исходной зависимости, так как по U(nT_д) можно однозначно восстановить исходный вид u(t). Следовательно, при выполнении условия (....) погрешность преобразования на этапе дискретизации по времени отсутствует.

Процесс квантования по уровню дискретной функции U(nT_д)  всегда связан с внесением некоторой погрешности , значение ко­торой (см. рис... ) определяется неравенством .

Величина ,носит название шума квантования и однозначно определяется числом допустимых значений функции U*_n, т. е. раз­рядностью используемого числового кода.

Поэтому погрешность аналого-цифрового преобразования, обус­ловленная шумом квантования, при увеличении разрядности вы­ходного кода может быть уменьшена до сколь угодно малой величины. Но в отличие от погрешности дискретизации по времени она принципиально присуща данному алгоритму и не может быть сведена к нулю выбором параметров устройства.

Рассмотренные погрешности обусловлены самим алгоритмом аналого-цифрового преобразования.  Кроме них в реальных АЦП возникают погрешности, связанные с неидеальностью используе­мой элементной базы, т. е. инструментальные погрешности.

Процесс цифро-аналогового преобразования предполагает по­следовательное выполнение следующих операций: формирование в заданном диапазоне изменения выходного сигнала М его дискретных значений U*_M, отличающихся на некоторое значение , и постановка каждому сформированному уровню в соответствие некоторого кода K_i; последовательное, с заданным временным интервалом Т₁, присвоение выходному сигналу значений выделенных уровней, соответствующих входной последовательности кодов К_i.

Если предположить, что  и T₁=T_д, то результатом цифро-аналогового преобразования полученной ранее последовательности кодов K_n будет, показанная на рис..., ступенчатая функция U*_n. Эта функция, хотя и непрерывна во времени, но остается дискретной по уровню, что является результатом погрешности, обусленной шумом квантования. Сам процесс цифро-аналогового образования не вносит собственных принципиальных погрешностей, а лишь материализует погрешности, полученные в АЦП. Реально возникающие при преобразовании погрешности носят чисто инструментальный характер. Математически алгоритм цифро-аналогового преобразования  можно записать в виде:

где -погрешность преобразования на i-м шаге.

Подводя итог сказанному, отметим, что погрешности, обусленные самим алгоритмом работы, возникают только на этапе аналого-цифрового преобразования и их уменьшение требует уменьшения периода дискретизации T_д и шага квантования h.

Существует большое число признаков, по которым могут быть классифицированы ЦАП и АЦП. Ниже остановимся на наиболее часто встречающейся классификации, базирующейся на реализуемом методе преобразования. С этой точки зрения все существующие ЦАП могут быть разделены на два класса: устройства, реализующие метод многократного суммирования одного эталона; устройства, реализующие метод суммирования нескольких различных эталонов.

Цифро-аналоговые преобразователи первого класса используют при работе единственный эталон, число повторений (суммирований) которого определяется значением входного единичного кода (единичным называется код, число единиц в записи которого равно числовому эквиваленту. Например, десятичное число 5 в единичном коде равно 11111). Этот код подается на вход ЦАП в последовательной форме.

Цифро-аналоговые преобразователи второго класса имеют число эталонов, равное разрядности входного кода. Причем значения этих эталонов пропорциональны величинам весовых коэффициентов используемого кода. Входной код подается на вход таких ЦАП в параллельной форме.

Следует отметить, что в настоящее время используются только ЦАП второго класса.

Интегральные схемы ЦАП могут выполняться как функционально завершенными, т. е. не требующими для своей работы до­полнительных элементов, так и функционально незавершенными. В последнем случае в качестве внешних элементов, как правило, применяют источник эталонного напряжения, операционный усилитель, регистры и т. д.

Работа с внешним источником эталонного напряжения позво­ляет разделить все ЦАП на две группы: умножающие - работаю­щие с изменяющимся во времени источником эталонного сигнала, и неумножающие - работающие с эталонным источником, вели­чина которого в течение всего времени работы устройства остается постоянной.

С позиции используемого метода преобразования все АЦП де­лятся на: устройства, реализующие метод последовательного счета, устройства, реализующие метод поразрядного кодирования, уст­ройства, реализующие метод считывания.

Аналого-цифровые преобразователи, работающие по методу последовательного счета, осуществляют уравновешивание входной аналоговой величины суммой одинаковых эталонов. Момент равен­ства этих величин фиксируется сравнивающим устройством. На выходе таких АЦП формируется последовательный единичный код. Далее этот код может быть преобразован к любому требуемому виду.

Аналого-цифровые преобразователи, работающие по методу по­разрядного кодирования, используют несколько эталонов. Причем их число равно числу разрядов, а значения пропорциональны ве­совым коэффициентам выходного позиционного кода. Каждый эта­лон сравнивается с входной величиной устройством сравнения. Процесс сравнения начинается с эталона, имеющего максималь­ное значение. В зависимости от результата этого сравнения формируется цифра старшего разряда выходного кода. Если эталон больше входной величины, то в старшем разряде формируется ну­левое значение и производится сравнение входной величины с наибольшим из оставшихся эталонов. Если максимальный эталон оказался меньше входной величины, то в старшем разряде выход­ного кода формируется сигнал лог. 1 и дальнейшему сравнению подлежит сигнал разности входной величины и максимального эталона. Аналогичные действия выполняются для всех используе­мых эталонов.

Аналого-цифровые преобразователи, работающие по методу считывания, используют N эталонов (N - число уровней кванто­вания). При этом младший эталон равен h (шагу квантования), следующий 2h и т. д. Входная величина сравнивается с каждым эталоном своим устройством сравнения, в результате чего на выходе устройства формируется параллельный единичный код, в котором число единиц соответствует числу эталонов, выходной сигнал которых меньше входного.